微分方程式の中でも最も基礎となる「線形常微分方程式」を修得し、さらに、偏微分方程式の理解も深める。 【授業の到達目標】 (a) 微小量の概念を使って文章による記述から微少量に関する式を立てられる。(b) 微分と積分の概念を 微分方程式は，理工系各分野に於いて基礎となるのみならず，応用上も重要である。本講義では解法の習得を目標に，常微分微分方程式の基礎事項を講義し，専門各分野への応用力を養う事を目標とする． 授業形態及び 授業方法 主と 第0 章では, 微分方程式に関する基本事項と, 最も基本的な微分方程式y(n) = f(x) の解法を学ぶ. 第1 章では, 1 階微分方程式の解法を学ぶ. この章に登場する微分方程式は, 変数分 離形, 同次形,1階線形, 完全微分形の4 種類である. 定義1-4. 斉次微分方程式(1) の解w 1(z), w 2(z) が領域Dにおいて互いに一次独立な時, その2 つを領域 Dにおける微分方程式(1) の解の基本系(Fundamental System of Solution) と呼ぶ. 定理1-5. 微分方程式(1) のp(z), q(z) が一価正則な 微分方程式を数値的に解くとき、進むべき方向を決めて、1ステップ進み、その点でまた次に進む方向を決めて、また1ステップ進むというような方法で解いていきます。 最も単純なのは、今、自分がいる点で傾きを求めて、それを進む方向にします。
7-1 7章 微分方程式 7.1 微分方程式とは 不定積分は微分dy dx = f (x) の形から、積分関数y =F(x)+cを求めるものでした が、これは左辺が単純にdy dx の形をしていました。 しかし、左辺がこのような形以 外に、例えば、d2 y dx2 −2xdy
微分方程式の応用 1 重力による物体の落下速度 重力の作用により物体が落下するとき、物体の速度v は時間t を独立変数とする関数であって、次のような 一階微分方程式に従っている。dv dt = ¡g ただしg は重力加速度と呼ばれる正の定数である。 。最初の時刻t = 0 で速度がv0 であるとすると 微分方程式演習問題No. 4 解答 1 Laplace変換をもちいて次の微分方程式の初期値問題を解け. (1) {y′′ +5y′ +6y = 0; (a) y(0) = 1; y′(0) = 0: (b) (a)の両辺をラプラス変換して微分法則を使いL[y] = Y とおくと (s2 +5s+6)Y (sy(0)+ y′(0)+5y(0)) = 0. 『微分方程式』期末試験問題 解答上の注意 解答にあたっては，思考の過程が明確にたどれるように途中の計算も書くこと。結果だけの答案は採点しない。 1．次の1階微分方程式を解きなさい。[各10 点] (1) y x x y dx dy y (2) 1 微分方程式 独立変数, 未知関数および未知関数の導関数の間の関係式を微分方程式fftial equation=D.E.) という. 1.1 常微分方程式と偏微分方程式 次の形の方程式をn 階常微分方程式という: F(x;y;y′;y′′;:::;y(n)) = 0 の形の方程式: (1) ただし, F は既知関数, x は独立変数, y = y(x) は未知関数, y′ =
微分方程式を解くには、積分という数学的技巧が必要になる。 そのため「ややこしい」と嫌われる 場合 もあるようだ。 計算 ではなく図形で「 微分方程式 を解いて 関数 を求める」というのはどういう ことな のかを感じていただけたらと思い、 アニメーション プログラム を作った。
1 微分方程式の級数解とは (以下は、ある学生と教官との会話である[1]。) 「先生，実は級数解の方法って，全然知らないんで す．というか，初めて量子力学の本で出会ったのです が，ちんぷんかんぷんだったんです．」 「それはたぶん，量子力学の教科書にある … 微分方程式 I講義ノート (ode.pdf) ですが、これは、講義と共に増殖していきます。このような形での微分方程式（入門）は、もっと早い時期に接するべきで、 4年生というのは、遅すぎるのですが、カリキュラムの現状、やむをえません。 1 微分方程式の初等解法 微分方程式とは独立変数と未知関数、そしてその導関数からなる方程式のことをいう。x を独立変数、 y = y(x) を未知関数とするとき、一般に、関数F を用いて F(x;y;y0;:::;y(n)) = 0 (1.1) で与えられる。これを(常)微分 6 常微分方程式1 (初等的解法) 6.1 1 階常微分方程式の初等的解法 断らない限りC;C1 等は積分定数とする. またlog の中が正の場合のみ考えることにする. 問題6.1. y′=y = sinx より(logy)′ = sinx. 両辺積分してlogy = cosx+C1. よってy = 微分方程式の応用 1 重力による物体の落下速度 重力の作用により物体が落下するとき、物体の速度v は時間t を独立変数とする関数であって、次のような 一階微分方程式に従っている。dv dt = ¡g ただしg は重力加速度と呼ばれる正の定数である。 。最初の時刻t = 0 で速度がv0 であるとすると 微分方程式演習問題No. 4 解答 1 Laplace変換をもちいて次の微分方程式の初期値問題を解け. (1) {y′′ +5y′ +6y = 0; (a) y(0) = 1; y′(0) = 0: (b) (a)の両辺をラプラス変換して微分法則を使いL[y] = Y とおくと (s2 +5s+6)Y (sy(0)+ y′(0)+5y(0)) = 0.
第0 章では, 微分方程式に関する基本事項と, 最も基本的な微分方程式y(n) = f(x) の解法を学ぶ. 第1 章では, 1 階微分方程式の解法を学ぶ. この章に登場する微分方程式は, 変数分 離形, 同次形,1階線形, 完全微分形の4 種類である.
微分方程式を初めて学ぶ人のための入門書。初等解法と定性理論の両方をバランスよく説明し，多数の実例で理解を助ける。〔内容〕微分方程式の基礎／初等解法／定数係数線形微分方程式／2階変数係数線形微分方程式と境界値問題／力学系 機械および電気回路に現れる微分方程式を導出すること 電気1号棟601室教官室，内線9527、E-mail: uchiki@nagaokaut.ac.jp 微分方程式とその応用 Differential equations and applications 講義 2単位 1学期 打木 久雄 1階常微分 例1.3. （常微分方程式の例） 指数成長(exponential growth), 指数減少(exponential decay)： 差分方程式の極限としての微分方程式の導出 単位時間あたりの、物質量（生物個体数）1単位あたりの増分が定数 a （Isaac Newton が微積分学確立当時にPrincipia でこんな議論をして
微分方程式，(1) (2) いずれも変数分離形∫ f(y)dy＝∫ g(x)dx の形で解ける微分 方程式の問題なんだね。微分方程式を解く際に ，定数C の扱い方に注意しよう。今回は，(1)，(2) ともに条件が与えられているので，この定数Cの値を決定 1.1 1 階微分方程式 本節では特にy′ について明示的に表せている y′ = G(x;y) の形の方程式を考える。この形の方程式を正規形という。方程式がどのような形をしていればこれは解けるだろ うか？1.1.1 1 階線形微分方程式 1 Newton 法と反復法の数理 2 微分方程式と数値解法 3 応用例：Navier-Stokes 方程式と臨床医学への応用 4 現象と数理モデル 5 汎用的な数値解法|有限要素法 6 まとめ NS (数理科学概論) 微分方程式の解を見る 2018 年12 月19 日 2/50 A-3 初等微分方程式 プリントに登場する初歩的な微分方程式の解法について解説する。3.1 y′ = g(x) まず手始めに，次の形の一階微分方程式を考える。dy dx (A-3.1) = g(x) この方程式は直ちに積分できる。∫ dy= (A-3.2) g(x)dx+c この積分は 微分方程式の応用 application of differential equation 1 重力による物体の落下速度 重力の作用により物体が落下するとき、物体の速度v は時間t を独立変数とする関数であって、次のような 一階微分方程式に従っている。dv dt = −g ただしg は重力加速度と呼ばれる正の定数である。
初等解法 変数分離型．1階線形方程式．全微分型． 基礎定理 初期値問題．解の存在と一意性． 定数係数 線形方程式 斉次方程式と非斉次方程式． 重ね合わせの原理．基本解．演算子による解法． 変数係数 線形方程式 ロンスキー行列式．定数変化法．
線形微分方程式の解法について、主に定数係数の場合を中心に纏めた。授 業では触れることができなかった3階以上の場合も言及してある。沢山の例 題が載せてあるので、計算の道筋をそれらの例題を解くことで理解すること。 常微分方程式のべき級数解 山根英司(関西学院大学) 日数教沖縄2019年8月7日 1.カリキュラム • 1年微積テイラーの定理，テイラー展開 • 2年難しめの微積級数（べき級数含む） • 2年秋関数論入門（テイラー展開は少し） • 2年秋常微分方程式の初歩(変数分離形，定数 … 初等解法 変数分離型．1階線形方程式．全微分型． 基礎定理 初期値問題．解の存在と一意性． 定数係数 線形方程式 斉次方程式と非斉次方程式． 重ね合わせの原理．基本解．演算子による解法． 変数係数 線形方程式 ロンスキー行列式．定数変化法． Wolfram言語の微分方程式を解くための関数は，ユーザが予め処理しなくてもよい適切なアルゴリズムを自動的に選択して，多くの種類の微分代数方程式に適用できるようになっている． DSolve を使って，独立変数 で について微分方程式 を解く： 1 微分方程式の級数解とは (以下は、ある学生と教官との会話である[1]。) 「先生，実は級数解の方法って，全然知らないんで す．というか，初めて量子力学の本で出会ったのです が，ちんぷんかんぷんだったんです．」 「それはたぶん，量子力学の教科書にある … 微分方程式 I講義ノート (ode.pdf) ですが、これは、講義と共に増殖していきます。このような形での微分方程式（入門）は、もっと早い時期に接するべきで、 4年生というのは、遅すぎるのですが、カリキュラムの現状、やむをえません。